Mathematics Profit and Loss

अंकगणित (Arithmetic) में लाभ और हानि (Profit and Loss) एक ऐसा अध्याय है, जो हर प्रतियोगी परीक्षा में 2 से 3 अंकों का पूछा जाता है। UP Police Constable और UP Lekhpal में इस अध्याय का वज़न बहुत अधिक है।

अक्सर छात्र लंबे फॉर्मूले रटने में समय बर्बाद करते हैं। इस गाइड में हम सीखेंगे कि कैसे प्रतिशत (Percentage) की फ्रैक्शन (Fraction) ट्रिक का उपयोग करके लाभ-हानि के सवालों को बिना किसी फॉर्मूले के सेकंडों में हल किया जा सकता है।

1. बुनियादी शब्दावली (Basic Terminology)

इससे पहले कि हम ट्रिक्स पर आएँ, इन चार शब्दों को समझना बहुत ज़रूरी है:

  1. CP (Cost Price / क्रय मूल्य): वह मूल्य जिस पर कोई वस्तु खरीदी जाती है। (लाभ और हानि की गणना हमेशा CP पर ही की जाती है, जब तक कि प्रश्न में कुछ और न कहा गया हो।)
  2. SP (Selling Price / विक्रय मूल्य): वह मूल्य जिस पर कोई वस्तु बेची जाती है।
  3. MP (Marked Price / अंकित मूल्य): वह मूल्य जो वस्तु के पैकेट पर छपा (Printed) होता है।
  4. Discount (छूट / बट्टा): छूट हमेशा MP (अंकित मूल्य) पर दी जाती है।

2. बिना फॉर्मूले के "Fraction Trick" (मैजिक मेथड)

हमें पता है कि 20% का मतलब 1/5 होता है। (भिन्न तालिका याद करें!)

  • यदि 20% लाभ हो: 1/5 में, नीचे वाला '5' हमेशा CP (क्रय मूल्य) होगा, और ऊपर वाला '1' लाभ होगा।
    • इसलिए, SP (विक्रय मूल्य) = 5 + 1 = 6.
    • अनुपात: CP : SP = 5 : 6
  • यदि 20% हानि हो: नीचे वाला '5' = CP, ऊपर वाला '1' = हानि।
    • इसलिए, SP = 5 - 1 = 4.
    • अनुपात: CP : SP = 5 : 4

अभ्यास 1: Fraction Trick का उपयोग

प्रश्न: एक व्यक्ति ₹800 की साइकिल को 25% लाभ पर बेचता है। विक्रय मूल्य (SP) क्या होगा?

  • बिना फॉर्मूले के हल:
    • 25% = 1/4 (CP = 4, Profit = 1, इसलिए SP = 5)
    • प्रश्न में CP दिया है ₹800। मतलब हमारा '4' अनुपात 800 के बराबर है।
    • यदि 4 = 800 ➡️ 1 = 200
    • तो SP (5) = 5 × 200 = ₹1000। (बिना किसी जटिल कैलकुलेशन के!)

प्रश्न: एक कुर्सी को ₹720 में बेचने पर 10% की हानि होती है। कुर्सी का क्रय मूल्य (CP) क्या था?

  • हल:
    • 10% = 1/10 (CP = 10, Loss = 1 ➡️ SP = 9)
    • दिया है SP = 720.
    • यदि 9 = 720 ➡️ 1 = 80
    • तो CP (10) = 10 × 80 = ₹800।

3. लाभ-हानि के 4 जादुई शॉर्टकट्स (Magical Shortcuts)

Shortcut 1: जब दो वस्तुओं का SP समान हो (Same Selling Price)

यदि दो वस्तुओं को समान मूल्य पर बेचा जाए (SP1 = SP2), और एक पर x% का लाभ हो तथा दूसरे पर x% की हानि हो, तो इस पूरे सौदे में हमेशा हानि (Loss) होती है।

  • हानि प्रतिशत = (x²) / 100

  • उदाहरण: एक दुकानदार दो टीवी सेट, प्रत्येक को ₹15,000 में बेचता है। एक पर उसे 20% का लाभ होता है और दूसरे पर 20% की हानि। उसे कुल कितने प्रतिशत लाभ या हानि हुई?

    • उत्तर: हानि = (20²) / 100 = 400 / 100 = 4% हानि। (नोट: ₹15,000 का कोई उपयोग नहीं है!)

Shortcut 2: बेईमान दुकानदार (Dishonest Dealer)

जब कोई दुकानदार क्रय मूल्य पर बेचने का दावा करता है, लेकिन कम वज़न का उपयोग करता है।

  • % लाभ = [ (जितना कम तौला) / (जितना ग्राम दिया) ] × 100

  • उदाहरण: एक बेईमान दुकानदार 1 किलो (1000g) के स्थान पर 800 ग्राम ही तौलता है। उसका लाभ प्रतिशत क्या है?

    • कम तौला = 200g
    • ग्राहक को दिया = 800g
    • % लाभ = (200 / 800) × 100 = (1/4) × 100 = 25%।

Shortcut 3: क्रमागत छूट (Successive Discount)

यदि किसी वस्तु पर x% और y% की दो लगातार छूट दी जाए, तो समतुल्य एकल छूट क्या होगी?

  • एकल छूट = x + y - (xy / 100)

  • उदाहरण: 20% और 10% की दो क्रमिक छूटें किस एकल छूट के बराबर हैं?

    • एकल छूट = 20 + 10 - (200 / 100) = 30 - 2 = 28%।

Shortcut 4: CP और MP के बीच जादुई अनुपात (The Golden Ratio)

यह ट्रिक UP Police SI में सबसे ज्यादा काम आती है।

  • CP / MP = (100 - Discount %) / (100 + Profit %)

  • उदाहरण: किसी वस्तु के अंकित मूल्य (MP) पर 30% की छूट देने पर भी 20% का लाभ होता है। यदि क्रय मूल्य (CP) ₹700 है, तो अंकित मूल्य (MP) ज्ञात करें।

    • CP / MP = (100 - 30) / (100 + 20) = 70 / 120 = 7 / 12.
    • प्रश्न में CP (7) = 700 दिया है।
    • इसलिए MP (12) = 1200।

⚡ पिछले वर्षों के प्रश्न (UP Police & UPSSSC PYQs)

  1. प्रश्न: यदि 15 वस्तुओं का क्रय मूल्य (CP), 12 वस्तुओं के विक्रय मूल्य (SP) के बराबर है, तो लाभ प्रतिशत क्या होगा? (UP Police Constable 2018)

    • उत्तर: 25%
    • व्याख्या: 15 CP = 12 SP ➡️ CP / SP = 12 / 15 = 4 / 5. यानी 4 रुपये में खरीद कर 5 में बेचा। लाभ = 1. % लाभ = (1 / 4) × 100 = 25%.

  2. प्रश्न: एक दुकानदार ने ₹40 में एक वस्तु खरीदी और उसे 20% हानि पर बेच दिया। विक्रय मूल्य क्या है? (UPSSSC PET 2021)

    • उत्तर: ₹32
    • व्याख्या: 20% हानि = 1/5. (CP = 5, SP = 4). यदि 5 = 40 ➡️ 1 = 8. तो SP (4) = 4 × 8 = 32.

  3. प्रश्न: एक व्यक्ति ने ₹10 में 11 संतरे खरीदे और ₹11 में 10 संतरे बेच दिए। उसका लाभ प्रतिशत क्या है? (UP Lekhpal)

    • उत्तर: 21%
    • व्याख्या (ट्रिक): (Cross Multiplication) CP = 10(Rs) × 10(Qty) = 100 SP = 11(Rs) × 11(Qty) = 121 लाभ = 21, % लाभ = 21%

  4. प्रश्न: एक डीलर अपने माल पर क्रय मूल्य से 20% अधिक मूल्य अंकित करता है। फिर वह 10% की छूट देता है। उसका लाभ प्रतिशत क्या है? (UP Police SI)

    • उत्तर: 8%
    • व्याख्या: मान लें CP = 100. अंकित मूल्य (MP) = 120. छूट हमेशा MP पर दी जाती है। 120 का 10% = 12. SP = 120 - 12 = 108. CP 100 था, SP 108 है ➡️ 8% लाभ।

[!TIP] परीक्षा सफलता का सूत्र (Pro Tip): लाभ-हानि में फॉर्मूले याद करने से बचें। "Fraction Trick" (भिन्न विधि) और "CP/MP = (100-D)/(100+P)" अनुपात से आप 95% सवाल बिना पेन चलाए हल कर सकते हैं!